Coordinate System

Theorem 7. The Unique Representation Theorem

어떤 벡터공간 V와 V의 basis B에 대해서, V에 속한 모든 벡터 x는 B에 속한 벡터들의 Weighted Sum으로 나타내어질 수 있고, 그 Weight 벡터는 유일하다.

Definition

Theorem 7에 의해, V에 속한 벡터 x의 weight vector를 basis B에 대한 x의 좌표(coordinates of x relative to the basis B), 혹은 x의 B-좌표(B-coordinates of x)라고 한다.

• B-coordinates of x는 [x]_b로 표현한다.
• x에서 [x]_b로의 mapping을 coordinate mapping이라고 한다.

Rⁿ에서의 좌표

• Rⁿ에서의 basis B, Rⁿ에 속한 벡터 x를 생각해보자.
• Rⁿ에 속하므로 B의 각 벡터들은 n*1의 벡터이고, 그 개수는 n개이다.
• x는 standard basis에 대한 좌표를 갖는다(standard coordinate).
• 물론, B-coordinate로도 나타낼 수 있다. 이 경우, x는 B에 속한 벡터들의 선형결합으로 나타내어 질 것이다.
• 행렬 [b₁ b₂ ... b_n]을 P_b라고 하면, 다음과 같은 식이 성립할 것이다.

x = P_b[x]_b

• 여기서, P_b를 좌표변환행렬(change-of-coordinates matrix)라고 한다.
• P_b의 모든 열벡터들은 서로 선형독립이다. 따라서, 해당 행렬은 invertible하다.
• 그러므로, 좌표변환은 일대일대응(one-to-one) 선형변환이다.

The Coordinate Mapping

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2019/12/7 1차 작성