Linearly Independent Sets; Bases

Remark: 선형독립(Linearly Independent)이란?

어떤 벡터들의 집합에 속한 모든 벡터들이 서로서로 선형결합으로 이루어지지 않는 경우

Theorem 4.

어떤 벡터 집합이 있고, v_1이 영벡터가 아니며 그 집합에 속한 p개의 벡터들에 대해서,
그 벡터 집합이 선형종속이라는 것은 어느 한 경우라도 v_j가 선행하는 벡터 v_1, ..., v_(j-1)까지의 선형결합으로 이루어지는 경우를 말한다.

 

Basis

Definition
어떤 벡터공간 V가 있고, 그 Subspace를 W라고 하자. 다음의 조건을 만족하면, 그 벡터집합 B를 W의 Basis라고 한다.

• B는 선형독립인 집합이다.
• 벡터집합 B는 W를 span한다. 즉, W = span{b_1, b_2, ..., b_p}

• W를 span하면서, B 안에 "쓸데없는" 벡터가 포함되어 있지 않기 때문에, B는 W를 span하는 크기가 가장 작은 집합이 된다.
• B의 크기가 벡터공간 W의 차원(dimension)이 된다.
• V의 경우에도 성립 가능: V 자신도 V의 subspace이니까
• 특히, 일반적으로 많이 사용하는 {e_1, e_2, ..., e_p}의 경우, Standard Basis라고 한다.
• 조건만 만족하면 Basis가 될 수 있다: 한 벡터공간의 Basis는 딱 정해져있지 않다.

Spanning Set Theorem

Theorem 5. Spanning Set Theorem

어떤 벡터공간 V에 속한 벡터들의 집합을 S라고 하고, W를 벡터집합 S가 span하는 벡터공간이라고 하자.

• S에 속한 어떤 벡터 v_k가 다른 벡터들의 선형결합으로 이루어진다면, 그 벡터 v_k를 S에서 제외해도, S는 여전히 W를 span한다.
• W가 Zero Space가 아니라면, S의 어떤 부분집합은 W를 span한다.

Null Space와 Column Space의 Basis

• Null Space
  • Linear System Ax = 0 에 대해서, 그 해가 되는 모든 x의 벡터공간
  • x의 일반해를 구할 때, Parametrized Solution을 구했다.
  • 그 때, 각 parameter들에 곱해진 벡터들은 선형 독립이었다.
  • 따라서, 그 벡터들은 Null Space의 Basis가 된다.
• Column Space
  • Linear System Ax = b 에 대해서, 치역(range)에 속하는 모든 벡터들의 벡터공간
  • 열벡터들의 선형 결합으로 이루어진 벡터공간
  • 이 때, 열벡터들은 선형독립이 아닐 수 있다.
  • 그런데, 어떤 열벡터가 pivot column이 아니면, 다른 열벡터들의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
  • 따라서, Spanning Set Theorem을 사용하여 그 벡터들을 제외하면, Column Space를 span하면서 선형독립인 벡터집합을 만들 수 있다.
  • 즉, Column Space의 Basis는 행렬 A의 pivot column만을 선택하면 된다.